搜索梁?jiǎn)卧?有限元分析
2017-04-08 by:CAE仿真在線 來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)
有限元法的基本思想是將結(jié)構(gòu)離散化,用有限個(gè)容易分析的單元來(lái)表示復(fù)雜的對(duì)象,單元之間通過(guò)有限個(gè)節(jié)點(diǎn)相互連接,然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件綜合求解。由于單元的數(shù)目是有限的,節(jié)點(diǎn)的數(shù)目也是有限的,所以稱(chēng)為有限元法(FEM,Finite Element Method)。是隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展起來(lái)的一種彈性力學(xué)問(wèn)題的數(shù)值求解方法。
有限元法是最重要的工程分析技術(shù)之一。它廣泛應(yīng)用于彈塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)等領(lǐng)域。有限元法是60年代以來(lái)發(fā)展起來(lái)的新的數(shù)值計(jì)算方法,是計(jì)算機(jī)時(shí)代的產(chǎn)物。雖然有限元的概念早在40年代就有人提出,但由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)尚未出現(xiàn),它并未受到人們的重視。
隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,有限元法在各個(gè)工程領(lǐng)域中不斷得到深入應(yīng)用,現(xiàn)已遍及宇航工業(yè)、核工業(yè)、機(jī)電、化工、建筑、海洋等工業(yè),是機(jī)械產(chǎn)品動(dòng)、靜、熱特性分析的重要手段。早在70年代初期就有人給出結(jié)論:有限元法在產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用,使機(jī)電產(chǎn)品設(shè)計(jì)產(chǎn)生革命性的變化,理論設(shè)計(jì)代替了經(jīng)驗(yàn)類(lèi)比設(shè)計(jì)。目前,有限元法仍在不斷發(fā)展,理論上不斷完善,各種有限元分析程序包的功能越來(lái)越強(qiáng)大,使用越來(lái)越方便。
所謂梁桿結(jié)構(gòu)是指其長(zhǎng)度比橫截面尺寸大很多的梁和桿件、以及由它們組成的系統(tǒng),這一類(lèi)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移都是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù),所以屬于一維單元問(wèn)題。
特點(diǎn):桿件位于一個(gè)平面內(nèi),桿件間用鉸節(jié)點(diǎn)連接,作用力也在該平面內(nèi)。
單元特性:只承受拉力或壓力。
單元?jiǎng)澐?常采用自然單元?jiǎng)澐?。即以?xún)蓚€(gè)鉸接點(diǎn)之間的桿件作為一個(gè)單元。為使桁架桿件只產(chǎn)生軸力,桁架的計(jì)算常作以下假定:
①桁架中每根桿件的兩端由理想鉸聯(lián)結(jié);
②每根桿件的軸線必須是直線;
③所有桿件的軸線都只交于所聯(lián)理想鉸的幾何中心。
④荷載均只作用于理想鉸的幾何中心。
在此條件下所算得的各種應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力。實(shí)際上各種桁架結(jié)構(gòu)不可能完全滿(mǎn)足上述各假定,因而桿件將產(chǎn)生彎曲,由這種彎曲而在桿件中所引起的軸向應(yīng)力稱(chēng)為次應(yīng)力。鋼桁架如設(shè)計(jì)得較合理,次應(yīng)力一般不太大;鋼筋混凝土或預(yù)應(yīng)力混凝土桁架,由于其結(jié)點(diǎn)剛度大、桿件粗短,次應(yīng)力的影響不能忽視。
特點(diǎn):與平面桁架的不同在于桿件之間以剛性鉸接點(diǎn)作為連接。
單元特性:除承受拉、壓軸向載荷外,還要承受剪力和彎矩。
單元?jiǎng)澐?除采用自然單元?jiǎng)澐滞?。即以?xún)蓚€(gè)剛接點(diǎn)之間的桿件作為一個(gè)單元。同時(shí)也要考慮在集中載荷作用位置、截面突變位置和分布載荷突變的位置增設(shè)節(jié)點(diǎn)。
多用鋼筋混凝土或鋼材建造,剛架結(jié)構(gòu)多為空間剛架,但許多空間剛架可分解為平面剛架進(jìn)行計(jì)算。剛架可分為靜定剛架和超靜定剛架,但工程中所應(yīng)用的主要是超靜定剛架。
特點(diǎn):簡(jiǎn)化了的剛架。
特性:不考慮軸向變形,只考慮垂直于軸線的線位移和軸線平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角位移。
單元?jiǎng)澐?同剛架。
A.粱在變形前垂直于粱軸線的橫截面,變形后仍然為平面(剛性橫截面假定);
B.橫截面變形后的平面仍與變形后的軸線相互垂直。
也就是說(shuō)歐拉梁忽略了剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,認(rèn)為初始垂直于中性軸的截平面在變形時(shí)仍保持為平面垂直于中性軸(Kirchhoff假設(shè)),即認(rèn)為截面的轉(zhuǎn)動(dòng)等于撓度曲線切線的斜率。適用于梁的高度遠(yuǎn)小于跨度情況下。
A.粱在變形前垂直于粱軸線的橫截面,變形后仍然為平面(剛性橫截面假定);
B.由于歐拉-伯努利梁的第二個(gè)假設(shè)忽略了梁的剪切變形,對(duì)于有效長(zhǎng)度較短或復(fù)合材料梁板橋時(shí),忽略剪切變形是不妥的,鐵木辛柯提出讓梁的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系得到滿(mǎn)足,即考慮剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。
在鐵木辛柯梁中,需要考慮橫向剪切變形影響的情況,如高度相對(duì)跨度不太小的高梁。此時(shí)梁內(nèi)的橫向剪切力Q所產(chǎn)生的剪切變形將引起梁的附加撓度,并使原來(lái)垂直于中性面的截面變形后不再與中性面垂直,且發(fā)生翹曲。
節(jié)點(diǎn)位移向量
(1-1)
節(jié)點(diǎn)力向量
(1-2)
每個(gè)單元四個(gè)自由度,所以可以有4個(gè)待定系數(shù)
(1-3)
有材料力學(xué)知,撓度與轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系是:
(1-4)
將i、j節(jié)點(diǎn)的位移代入,求得待定系數(shù):
(1-5)
所以
(1-6)
其中[N]為形函數(shù)矩陣
(1-7)
它也滿(mǎn)足前面形函數(shù)的性質(zhì)。
梁彎曲變形時(shí),若忽略剪切的影響,由材料力學(xué)知道:
(1-8)
將它代入到幾何方程,得:
(1-9)
換入位移插值公式
(1-10)
單向應(yīng)力狀態(tài),所以
(1-11)
(1-12)
代入[B]矩陣和[D]=E,并考慮
(1-13)
其中:
——剪切影響系數(shù),As為有效的抗剪切面積。
有一外伸梁及其承載情況如圖所示,其中,
,
,
。對(duì)該梁進(jìn)行分析,畫(huà)出彎矩圖和剪力圖。
圖1. 外伸梁結(jié)構(gòu)示意圖
用材料力學(xué)計(jì)算所得剪力和彎矩圖如下(以供對(duì)照):
圖2. 外伸梁的剪力圖和彎矩圖
利用有限元軟件ANSYS對(duì)此外伸梁及其承載情況進(jìn)行分析。
步驟概括:
1)創(chuàng)建梁的各個(gè)節(jié)點(diǎn);
2)顯示各個(gè)節(jié)點(diǎn)。
2.定義單元類(lèi)型和材料
1)定義單元類(lèi)型-2D elastic 3;
2)定義材料特性- Isotropic, 在EX后的文本框內(nèi)輸入數(shù)值207e5作為彈性模量;
3)定義幾何參數(shù)。
1)創(chuàng)建單元;
2)顯示單元資料。
1)施加集中載荷F;
2)施加彎矩M;
3)施加分布載荷q。
1)改變分析類(lèi)型;
2)求解。
1)顯示梁?jiǎn)卧冃谓Y(jié)果;
2)建立元素結(jié)果表:
①創(chuàng)建單元表,計(jì)算節(jié)點(diǎn)彎矩;
②創(chuàng)建單元表,計(jì)算節(jié)點(diǎn)剪力。
3)列出所有表格資料:
①列出資料;
②畫(huà)剪力圖;
圖3. 外伸梁的剪力圖
③畫(huà)彎矩圖。
圖4. 外伸梁的彎矩圖
將理論的彎矩圖和剪力圖與ansys軟件分析出的結(jié)果是一致的,通過(guò)對(duì)比,我們可以看出有限元的優(yōu)越性。
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