應(yīng)力客觀率是什么？

2017-03-15  by:CAE仿真在線  來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

因?yàn)橐恢痹谘芯糠蔷€性、大變形的固體力學(xué),我來(lái)試著回答一下。簡(jiǎn)單的來(lái)講,objective rate是對(duì)應(yīng)力變化率的一個(gè)測(cè)定,它在剛體旋轉(zhuǎn)的情況下為0,這就是所謂的“客觀”。下面深入介紹一下。

要了解什么叫做objective rate不如先來(lái)了解什么樣的rate不objective。我主要參考了Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures,作者 Ted Belytschko等。加上了一點(diǎn)自己的理解。

首先我假定你知道最常見(jiàn)的Cauchy stress tensor,

。然后進(jìn)行以下定義(雖然很常見(jiàn),但不同書(shū)上記法不同所以還是申明一下):

一個(gè)固體微元速度為

,定義速度梯度張量velocity gradient tensor為

現(xiàn)在有一個(gè)hypoelastic材料,其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由如下本構(gòu)方程描述:

那么這個(gè)本構(gòu)方程是一個(gè)有效的方程嗎?答案是否定的。為什么呢?看下圖。;

在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中,固體的初始應(yīng)力狀態(tài)是“凍結(jié)”住的,也就是說(shuō)對(duì)于一個(gè)騎在這根桿上的觀察者來(lái)說(shuō)應(yīng)力是不變的。(這句話有嚴(yán)格證明,不過(guò)因?yàn)橹庇^上很好理解,我略去證明過(guò)程)那么對(duì)于地面上的觀察者來(lái)說(shuō),Cauchy stress顯然變了,也就是說(shuō)
回頭看(1)中的本構(gòu)方程,左邊不為0,右邊卻為0,顯然它作為一個(gè)描述材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的方程來(lái)講是失敗了。在實(shí)際情況中,大尺度的轉(zhuǎn)動(dòng)很常見(jiàn),要想處理好這些情況,我們就不得不另找一個(gè)stress rate來(lái)代替 ,使得在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中,在初始參考系下,初始的應(yīng)力狀態(tài)保持不變,這樣的stress rate就叫做objective rate,也叫做frame-invariant rate。題主問(wèn)的Green-Naghdi rate就是其中的一種。
下面介紹三種objective rate,其中就包括題主問(wèn)的Green-Naghdi rate。

• Jaumann rate

還是考慮一樣的問(wèn)題,我們?cè)?1)式右邊加上兩項(xiàng),這兩項(xiàng)專門用來(lái)對(duì)付剛體旋轉(zhuǎn):

其中 是上文介紹的spin tensor。(2)中等號(hào)右邊第一項(xiàng)是材料變形的結(jié)果,后兩項(xiàng)是剛體旋轉(zhuǎn)的結(jié)果。(證明略)
(2)是一個(gè)有效的本構(gòu)方程。我們改寫一下使其更簡(jiǎn)潔:

其中
這 就是著名的Jaumann rate.

• Green-Naghdi rate

Green-Naghdi rate與Jaumann rate的區(qū)別僅在于對(duì)剛體旋轉(zhuǎn)的描述上。下面是它的定義:

這里

其中 是剛體旋轉(zhuǎn)的矩陣,并且每個(gè)deformation tensor中都可以分解為一個(gè)rigid body rotation tensor點(diǎn)乘一個(gè)stretch tensor(證明略)。
Green-Naghdi rate一樣可以解決開(kāi)頭提出的問(wèn)題,也常被用在本構(gòu)方程中。

• Truesdell rate

也是一個(gè)常用的objective rate,定義是

其中
在小變形的情形下,用不到這些。但如果你要考慮大尺度變形、旋轉(zhuǎn)什么的,這些objective rate就要派上用場(chǎng)了。但hyperelastic material又是例外,因?yàn)樗谧冃芜^(guò)程中保持strain energy potential恒定這個(gè)特點(diǎn)為我們提供一個(gè)天然的objective的框架。
希望我把問(wèn)題說(shuō)明白了。想深入學(xué)習(xí)請(qǐng)參考我開(kāi)頭提到的書(shū)。

作者:Leny

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