應力"奇點"（Stress singularity）（二）

2017-03-23  by:CAE仿真在線  來源:互聯(lián)網(wǎng)

不久前,公眾號發(fā)表了有限元分析中關(guān)于應力“奇點”(Stress singularity,或者叫應力的奇異性)的文章,引起了很大興趣,至今文章都還在不斷轉(zhuǎn)發(fā)分享中。大家也紛紛留言表達自己的觀點。請先閱讀前面的文章,點此鏈接:應力"奇點"(Stress singularity)

今天,我們再對這個應力奇點(singularities)進行進一步的簡單總結(jié)和討論。

• 哪些情形會產(chǎn)生應力奇點?

• 怎樣消除應力奇點?

• 什么情況下要注意應力奇點?
  

• 哪些情形會產(chǎn)生應力奇點

你可以用你的電腦嘗試做下面這個簡單的仿真測試,如下圖所示,一個薄板部件(2m*1m)一段固定,另一端施加一個載荷,部件中央有一個正方形方孔(0.2m),不斷將網(wǎng)格細化,看看正方形四個頂點的應力值大小。

隨著網(wǎng)格的不斷細化,你會發(fā)現(xiàn)四個頂點的應力值會越來越大,應力分布也越來越集中。

粗網(wǎng)格下的應力分布

精細網(wǎng)格下的應力分布

如果你有耐心一直劃分下去,會發(fā)現(xiàn)應力會不斷增大趨于無窮,當然越往后網(wǎng)格劃分會越來越困難。應力大小和單元大小的關(guān)系近似如下圖(x坐標已經(jīng)對數(shù)化處理)。

上面這個例子是一個非常容易理解的例子。這種隨著網(wǎng)格劃分不斷細化,應力也不斷增大的現(xiàn)象就是應力奇點,或者叫應力奇異性(singlarties)。

有些人可能會問,為什么應力會趨于無窮大,數(shù)學解釋是什么。有限元的數(shù)學基礎體系很繁雜,不是一個簡單的公式可以說明的。不過有個不是很恰當?shù)苤庇^的一個解釋:

我們知道,有限元分析中,求得的結(jié)果是位移,然后應變由位移導出(,u為位移),應變是位移的梯度;然后應變再導出應力(),所以應力可以看做位移場的梯度或者位移的導數(shù)。如下圖所示,在截面突變處,位移的大小也發(fā)生突變,在網(wǎng)格比較粗糙時這種突變不明顯,但隨著網(wǎng)格不斷細化,突變會越來越明顯,相應的導數(shù)也就越大,所以應力會不斷變大。(但要說明的是,如果現(xiàn)實中有這么一個實實在在的部件,我們?nèi)ヲ炞C,施加了載荷和約束,那么肯定只有一個確切無疑的狀態(tài),應力多大,位移多大是實實在在的可以測量出來的。在軟件分析中,位移(displacement)是會收斂的,不會一直增大)。

應力奇點,往往主要是因為幾何體局部沒有圓角(截面積發(fā)生突變)產(chǎn)生應力集中導致的。還有就是前面提到的點加載;點約束也可能導致奇點;或者部件局部有狹小的縫隙;或者焊接件的焊縫處等等。

應力奇點的補充:

點約束

模型局部狹小的縫隙處

焊縫(焊接分析時)

• 怎樣消除應力奇點?

消除應力奇點很簡單,參照上面的例子,為了避免應力集中,我們倒圓角,避免缺口等等,至于點約束或者點加載,其實基本上我們一般壓根不關(guān)注約束和加載處的應力分布。如果無法避免,根據(jù)圣維南原理(請參看前面的文章),遠離奇點或應力集中的地方應力值不受影響。

• 什么情況下要注意應力奇點?

什么情況下我們要考慮應力奇點帶來的影響呢?在現(xiàn)實生活中,上面提到的會產(chǎn)生應力奇點的理想情形是沒有的,比如圓角,加工出來多少還是有的,只是有大有小,應力不會無窮大。但圓角越小應力越集中。

有些情況下應力集中我們是不用擔心的,拿我們經(jīng)?？吹降拇皯魜碚f,如下圖所示,拐角處并沒有太大的圓角。為什么呢?因為建筑物主要承載的是靜力。這種主要承載靜力的情況下,應力集中是不會有顯著危害的,我們可以不考慮。

再看一個窗戶,如下圖所示,飛機上的窗戶,圓角就非常圓潤。為什么呢,因為飛機在飛行過程中,外部壓強不斷變化,窗戶的受力也會不斷變化,這時候,這種受到載荷不斷變化的情形,我們就要高度關(guān)注應力集中。

載荷不斷變化帶來的不良影響,就是有限元分析中的疲勞分析(fatigue analysis)。所以,當要對部件進行疲勞分析時,我們一點要關(guān)注應力奇點(或者應力集中),要處理好每一個細節(jié)處圓角的大小,因為應力的大小直接決定了我們疲勞分析出來的壽命,如果處理不好,實際情況和軟件分析的結(jié)果將非常不同。

當然有個問題就是,如果我們要對一個非常大的模型進行疲勞分析,每個注意的細節(jié)都倒圓角,那圓角將會非常多,這會給網(wǎng)格劃分帶來很大的困難,不一定能劃分成功,就算成功了,網(wǎng)格質(zhì)量也可能很差,也非常多,那怎么辦呢?這個問題將是我們后面要討論的全局—局部分析(global to local),我們只把關(guān)心的區(qū)域處理好,即子模型(submodeling),然后截取出來分析。比如下圖所示的輪轂,由于周期對稱,我們只把輪轂的一小部分截取出來進行分析。局部分析的技巧我們會在后續(xù)文章中討論。

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