應力"奇點"(Stress singularity)

2017-03-23 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

在宇宙大爆炸理論中,“奇點”是宇宙演化的起點,它具有一系列奇異的性質(zhì),比如無限大的物質(zhì)密度,無限大的壓力,無限彎曲的時空等,同時在黑洞(blackhole)理論中,也將黑洞中心無限大的密度比作奇點。而在有限元分析FEA中,同樣存在著“奇點”,那就是應力(stress)無窮大的點(隨著網(wǎng)格細化無限增大的點)。

應力"奇點"(Stress singularity)ansys分析案例圖片1

我們知道,有限元法是數(shù)值算法,而數(shù)值算法就涉及到解的收斂性,如果解沒有收斂就可能導致奇點或者奇異性(singularity)的產(chǎn)生。今天我們將討論應力“奇點”(stress singularity)。

應力奇點(Stress singularities)

在結(jié)構(gòu)分析中,我們知道軟件內(nèi)部在計算時先計算出節(jié)點位移(displacements),然后再通過數(shù)學方程導出應力(stress)。應力奇點的出現(xiàn)往往就是某個節(jié)點的應力導出值不收斂,我們越是細化網(wǎng)格,此處的應力值就會越大,理論上,隨著網(wǎng)格的細化,應力值會趨于無窮大(infinite)。

應力奇點發(fā)生的典型位置一般出現(xiàn)在點加載、點接觸、點約束、90°拐角(無圓角)等位置。如下圖所示的點加載和90°拐角的例子。

應力"奇點"(Stress singularity)ansys分析案例圖片2

一個平板在端面的載荷,一個是集中在一點,一個是均勻分布在端面。在點加載附近會產(chǎn)生應力奇點,而均勻載荷不會。(但是比較兩圖可以發(fā)現(xiàn),在稍微遠離點載荷的地方,應力的分布和均勻載荷是一樣的)

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在90°拐角位置,最大壓縮應力和最大拉伸應力發(fā)生在同一點,隨著網(wǎng)格的細化,兩種力都會隨之不斷增加。(當然,現(xiàn)實情況中,這種無圓角的部件是制造不出來的,多少會有個小圓角,所以不可能出現(xiàn)應力奇點,但根據(jù)圓角大小的不同,小圓角會產(chǎn)生應力集中)

圣維南原理(St. Venant’s Principle)

雖然應力在某些地方會趨于無限,而且是無法避免的。但這并不意味著模型在其它區(qū)域的結(jié)果不正確。

首先,位移在全局都是正確的,即使在應力奇點處位移也是正確的,不存在位移奇點一說。
其次,應力奇點只影響奇點附件比較小的區(qū)域,離開一定距離后,應力值仍然是對的。

這種情形就是有限元分析中有名的圣維南原理(St. Venant’s Principle)

圣維南原理(Saint Venant’s Principle)是彈性力學的基礎(chǔ)性原理,是法國力學家圣維南于1855年提出的。其內(nèi)容是:分布于彈性體上一小塊面積(或體積)內(nèi)的荷載所引起的物體中的應力,在離荷載作用區(qū)稍遠的地方,基本上只同荷載的合力和合力矩有關(guān);荷載的具體分布只影響荷載作用區(qū)附近的應力分布。還有一種等價的提法:如果作用在彈性體某一小塊面積(或體積)上的荷載的合力和合力矩都等于零,則在遠離荷載作用區(qū)的地方,應力就小得幾乎等于零。不少學者研究過圣維南原理的正確性,結(jié)果發(fā)現(xiàn),它在大部分實際問題中成立。

所以,有了圣維南原理,我們對有限元分析的模型處理就有了有力的理論支撐,比如對于我們不關(guān)心的區(qū)域我們完全可以簡化模型方便計算和網(wǎng)格劃分。

應力"奇點"(Stress singularity)ansys結(jié)果圖片4

圣維南原理示意圖,說明點加載影響的區(qū)域,在遠離點加載區(qū)域,應力是分布均勻的

如何處理應力奇點

應力奇點在有限元分析FEA中很常見,但很多時候,奇點區(qū)域我們并不關(guān)心。所以

忽略應力奇點,如果不關(guān)心奇點區(qū)域的應力分布,根據(jù)圣維南原理,遠離奇點的位置應力分布不受影響仍然是正確的。
另外,我們知道,在有限元分析劃分網(wǎng)格時,過多的圓角,特別是小圓角會使網(wǎng)格劃分出現(xiàn)問題,但有了圣維南原理,如果我們不關(guān)心圓角區(qū)域的應力分布,我們可以把小圓角去掉方便網(wǎng)格的劃分,計算成本也會減小。
現(xiàn)實條件下,無限應力是不會產(chǎn)生的,比如90°拐角不可能加工出來。另外,由于材料本身會產(chǎn)生屈服,應力不可能無限增大。在非線性分析時,由于需要考慮材料的塑形區(qū)域,軟件會自動消除應力奇點(因為過了彈性區(qū)域,塑形的存在使應力會有極限值)。

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