搜索淺談?dòng)邢拊椒ǖ暮诵乃枷耄簲?shù)值近似和離散化
2017-02-27 by:CAE仿真在線 來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)
有限元法是基于近代計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展而發(fā)展起來(lái)的一種近似數(shù)值方法,用來(lái)解決力學(xué),數(shù)學(xué)中的帶有特定邊界條件的偏微分方程問(wèn)題。而這些偏微分方程是工程實(shí)踐中常見的固體力學(xué)和流體力學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)。
有限元和計(jì)算機(jī)發(fā)展共同構(gòu)成了現(xiàn)代計(jì)算力學(xué)的基礎(chǔ)。有限元法的核心思想是“數(shù)值近似”和“離散化”,所以它在歷史上的發(fā)展也是圍繞著這兩個(gè)點(diǎn)進(jìn)行的。
1. 數(shù)值近似
由于在有限元法被發(fā)明之前,所有的力學(xué)問(wèn)題和工程問(wèn)題中出現(xiàn)的偏微分方程只能依靠單純的解析解得到解答。這種方法對(duì)數(shù)學(xué)要求很高,而且非常依賴于一些理想化的假定。比如在土木工程中梁柱計(jì)算中出現(xiàn)的平截面假定,小應(yīng)變假定,理想塑性假定。這些假定其實(shí)是和實(shí)際工程問(wèn)題有很大偏差的,而且一旦工程問(wèn)題稍微復(fù)雜一些我們就不能直接得到解析解,或者解析解的答案誤差過(guò)大。
而有限元法把復(fù)雜結(jié)構(gòu)離散到有限個(gè)單元,再把這種理想化的假定和力學(xué)控制方程施加于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的每一個(gè)單元,然后通過(guò)單元分析組裝得到結(jié)構(gòu)總剛度方程,通過(guò)邊界條件和其他約束解得每個(gè)單元的反應(yīng),這樣就可以避免直接建立復(fù)雜結(jié)構(gòu)的力學(xué)和數(shù)學(xué)模型了。其總過(guò)程可以描述為:
總結(jié)構(gòu)離散化 — 單元力學(xué)分析 — 單元組裝 — 總結(jié)構(gòu)分析 — 施加邊界條件 — 得到結(jié)構(gòu)總反應(yīng) — 單元內(nèi)部反應(yīng)分析
在進(jìn)行單元分析和單元內(nèi)部反應(yīng)分析的時(shí)候,形函數(shù)插值和高斯數(shù)值積分被用來(lái)近似表達(dá)單元內(nèi)部任意一點(diǎn)的反應(yīng),這就是有限元數(shù)值近似的重要體現(xiàn)。一般來(lái)說(shuō),形函數(shù)階數(shù)越高,近似精度也就越高,但其要求的單元控制點(diǎn)數(shù)量和高斯積分點(diǎn)數(shù)量也更多。另外單元?jiǎng)澐值脑骄?xì),其近似結(jié)果也更加精確。但是以上兩種提高有限元精度的代價(jià)就是計(jì)算量幾何倍數(shù)增加。
為了提高數(shù)值近似精度同時(shí)盡量較少地提高計(jì)算量,有限元法經(jīng)歷了很多發(fā)展和改良。下圖就是一典型的有限元問(wèn)題,因?yàn)槟Ｐ椭虚g空洞部分幾何不規(guī)則性,結(jié)構(gòu)用有限三角單元?jiǎng)澐?。由于在靠外區(qū)域,結(jié)構(gòu)反應(yīng)不是很大,因此劃分的單元比較大和粗糙,而在內(nèi)部,應(yīng)力變化比較大,劃分也比較精細(xì)。
而在單元?jiǎng)澐肿蠲軈^(qū)域,有應(yīng)力集中現(xiàn)象,所以又有相應(yīng)的高級(jí)理論(比如non-local theory)來(lái)指導(dǎo)這部分的單元應(yīng)力應(yīng)變計(jì)算。結(jié)構(gòu)被選擇性地離散,和高級(jí)理論構(gòu)成了有限元發(fā)展的主要研究方向。
2. 離散化
離散化和相應(yīng)單元特性和收斂研究也是有限元中一個(gè)重要研究領(lǐng)域,總的來(lái)說(shuō),有限單元和他們組裝成的總體結(jié)構(gòu)主要分為:
1-D 單元 (1-D element)
桿單元 (bar element) ------ 桁架 (truss)
梁?jiǎn)卧?(beam element) ------ 框架 (frame)
板單元 (plate element) ------ 殼體 (shell)
2-D單元 (2-D element)------平面應(yīng)力體 (plain stress) 和 平面應(yīng)變體 (plain strain)
三角單元 (triangle element)
四邊形單元 (quadrilateral element)
多邊形單元 (polygonal element)
3-D 單元 (3-D element) ------立體結(jié)構(gòu) (3-D problem)
三角體 (tetrahedrons element)
立方體單元 (hexahedrons element)
多邊體單元 (polyhedrons element)
具體的分類和單元形狀見下圖:
可以看到每種單元又可以提高形函數(shù)的階數(shù)(控制點(diǎn) node 數(shù)量)來(lái)提高精度。很多有限元研究也集中在這個(gè)領(lǐng)域。比如研究新的單元引用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)以減小數(shù)值震蕩,比如用3-D單元去模擬梁?jiǎn)卧鹊?。其?shí)理論上來(lái)說(shuō)這個(gè)領(lǐng)域可以有無(wú)限可能,因?yàn)閷?duì)精度和數(shù)值穩(wěn)定的追求可以是無(wú)限的。
3. “光滑邊界” 和 與CAD的交互問(wèn)題
其實(shí)這個(gè)算不上有限元的核心思想,不過(guò)是現(xiàn)在有限元研究熱的不能再熱的領(lǐng)域了,就是“NURBS”有限元法,它的原理是用空間樣條曲線來(lái)劃分單元。如第一幅圖所示,傳統(tǒng)的有限元在處理不規(guī)則邊界的時(shí)候一般都是較多的單元和用三角單元,多邊形單元來(lái)解決,而且單元控制點(diǎn)都是和單元在一個(gè)平面上。 而NURBS 單元的控制點(diǎn)脫離了單元本身,并且利用B-spline理論上可以把單元的光滑程度(continuity)提高到無(wú)限,而且不會(huì)顯著提高計(jì)算量。
發(fā)展NURBS的另外一個(gè)好處是,在建模中常用的CAD軟件是用B-spline來(lái)進(jìn)行模型建立基礎(chǔ)的,而NURBS 正好也是用用B-spline作為basis。 所以CAD和NURBS的交互可以非常簡(jiǎn)單和高效的,甚至可以說(shuō)是無(wú)縫連接。因此在工業(yè)界中十分復(fù)雜的模型都可以用CAD進(jìn)行建模,再用NURBS進(jìn)行有限元計(jì)算,如下圖?，F(xiàn)在成噸的有限元paper都來(lái)自這個(gè)領(lǐng)域,因?yàn)橛邢拊幕纠碚摶疽呀?jīng)成熟和robust,利用高性能計(jì)算機(jī)進(jìn)行大尺度(large-scale)和高復(fù)雜結(jié)構(gòu)模擬也是有限元發(fā)展的一個(gè)主要方向。
需要提到一點(diǎn)的是,沒(méi)有高性能計(jì)算機(jī)技術(shù)的大力發(fā)展,就不可能有有限元的發(fā)展。有限元的理論最早是出現(xiàn)在1960年代,直到1970之后才隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展。而現(xiàn)在發(fā)展迅速的計(jì)算力學(xué)也是得益于高性能計(jì)算機(jī)的發(fā)展?？赡墚?dāng)某一天計(jì)算機(jī)處理速度可以強(qiáng)大到我們可以用最復(fù)雜,最密集的單元完美快速地模擬任意結(jié)構(gòu),我們也不用再操心精度問(wèn)題了。 所以我覺(jué)得有限元的核心還需要加上計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展吧。
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