Abaqus單元的數(shù)學(xué)描述和積分——完全積分

2013-08-14  by:接觸分析軟件應(yīng)用培訓(xùn)中心  來源:仿真在線

Abaqus單元的數(shù)學(xué)描述和積分——完全積分

通過考慮一個(gè)靜態(tài)分析的懸臂梁,如圖4-1所示,將演示單元階數(shù)(線性或二次)、單元數(shù)學(xué)描述和積分水平對結(jié)構(gòu)模擬的精度的影響。這是一個(gè)用來評估給定的有限元性能的典型測試。由于梁是相當(dāng)?shù)募?xì)長,通常采用梁單元來建立模型。但是,在這里我們將利用此模型幫助評估各種實(shí)體單元的效果。

梁為150 mm長,2.5 mm寬,5 mm高;一端固定;在自由端施加5 N的集中荷載。材料的楊氏模量E為70 GPa,泊松比為0.0。采用梁的理論,在載荷P作用下,梁自由端的靜撓度給出為

其中,,l是長度,b是寬度,d是梁的高度。

當(dāng)P = 5N時(shí),自由端撓度是3.09 mm。

圖4-1 自由端受集中載荷P的懸臂梁

4.1.1 完全積分

所謂“完全積分”是指當(dāng)單元具有規(guī)則形狀時(shí),所用的Gauss積分點(diǎn)的數(shù)目足以對單元剛度矩陣中的多項(xiàng)式進(jìn)行精確積分。對六面體和四邊形單元而言,所謂“規(guī)則形狀”是指單元的邊是直線并且邊與邊相交成直角,在任何邊中的節(jié)點(diǎn)都位于邊的中點(diǎn)上。完全積分的線性單元在每一個(gè)方向上采用兩個(gè)積分點(diǎn)。因此,三維單元C3D8在單元中采用了2´2´2個(gè)積分點(diǎn)。完全積分的二次單元(僅存在于ABAQUS/Standard)在每一個(gè)方向上采用3個(gè)積分點(diǎn)。對于二維四邊形單元,完全積分的積分點(diǎn)位置如圖4-2所示。

圖4-2 完全積分時(shí),二維四邊形單元中的積分點(diǎn)

應(yīng)用ABAQUS/Standard模擬懸臂梁問題,采用了幾種不同的有限元網(wǎng)格,如圖4-3所示。采用了或者線性或者二次的完全積分單元進(jìn)行模擬,以此說明兩種單元的階數(shù)(一階與二階)和網(wǎng)格密度對結(jié)果精度的影響。

關(guān)于各種模擬情況下的自由端位移與梁理論解3.09 mm的比值,如表4-1所示。

應(yīng)用線性單元CPS4和C3D8所得到的撓度值相當(dāng)差,以至于其結(jié)果不可用。隨著網(wǎng)格的粗糙,結(jié)果的精度越差,但是即使網(wǎng)格劃分得相當(dāng)細(xì)(8´24),得到的自由端位移仍只有理論值的56%。注意到,對于線性完全積分單元,在梁厚度方向的單元數(shù)目并不影響計(jì)算結(jié)果。自由端撓度的誤差是由于剪力自鎖(shear locking)引起的,這是存在于所有完全積分、一階和實(shí)體單元中的問題。

圖4-3 懸臂梁模擬所采用的網(wǎng)格

表4-1 采用積分單元的梁撓度比值

像我們所看到的,剪力自鎖引起單元在彎曲時(shí)過于剛硬,對此解釋如下?？紤]受純彎曲結(jié)構(gòu)中的一小塊材料,如圖4-4所示,材料產(chǎn)生彎曲,變形前平行于水平軸的直線成為常曲率的曲線,而沿厚度方向的直線仍保持為直線,水平線與豎直線之間的夾角保持為。

圖4-4 受彎矩M作用下材料的變形

線性單元的邊不能彎曲;所以,如果應(yīng)用單一單元來模擬這一小塊材料,其變形后的形狀如圖4-5所示。

圖4-5 受彎矩M作用下完全積分、線性單元的變形

為清楚起見,畫出了通過積分點(diǎn)的虛線。顯然,上部虛線的長度增加,說明1方向的應(yīng)力()是拉伸的。類似地,下部虛線的長度縮短,說明是壓縮的。豎直方向虛線的長度沒有改變(假設(shè)位移是很小的);因此,所有積分點(diǎn)上的為零。所有這些都與受純彎曲的小塊材料應(yīng)力的預(yù)期狀態(tài)是一致的。但是,在每一個(gè)積分點(diǎn)處,豎直線與水平線之間夾角開始時(shí)為,變形后卻改變了,說明這些點(diǎn)上的剪應(yīng)力不為零。顯然,這是不正確的:在純彎曲時(shí),這一小塊材料中的剪應(yīng)力應(yīng)該為零。

產(chǎn)生這種偽剪應(yīng)力的原因是因?yàn)閱卧倪叢荒軓澢?它的出現(xiàn)意味著應(yīng)變能正在產(chǎn)生剪切變形,而不是產(chǎn)生所希望的彎曲變形,因此總的撓度變小:即單元是過于的剛硬。

剪力自鎖僅影響受彎曲載荷的完全積分的線性單元的行為。在受沿坐標(biāo)方向或剪切載荷時(shí),這些單元的功能表現(xiàn)完好。而二次單元的邊界可以彎曲(見圖4-6),故它沒有剪力自鎖的問題。從表4-1可見,二次單元預(yù)期的自由端位移接近于理論解答。但是,如果二次單元發(fā)生扭曲或彎曲應(yīng)力有梯度,將有可能展示某種程度的自鎖,這兩種情況在實(shí)際問題中是可能發(fā)生的。

圖4-6 受彎矩M作用下完全積分、二次單元的變形

只有當(dāng)確信載荷只會在模型中產(chǎn)生很小的彎曲時(shí),才可以采用完全積分的線性單元。如果對載荷產(chǎn)生的變形類型有所懷疑,則應(yīng)采用不同類型的單元。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下,完全積分的二次單元也有可能發(fā)生自鎖;因此,如果在模型中應(yīng)用這類單元,應(yīng)細(xì)心地檢查計(jì)算結(jié)果。然而,對于模擬局部應(yīng)力集中的區(qū)域,應(yīng)用這類單元是非常有用的。

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