泛函變分小結(jié)：理解變分法的基本思想及其發(fā)展【轉(zhuǎn)發(fā)】

2017-02-27  by:CAE仿真在線  來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

感覺(jué)泛函變分是個(gè)很神奇的東西,居然能求出一個(gè)函數(shù),想好好學(xué)一學(xué),發(fā)現(xiàn)書上講的不透徹,證明不詳細(xì),用于求解泛函變分時(shí)查公式還行,但要了解變分法的思想,簡(jiǎn)直不可能。個(gè)人感覺(jué)推導(dǎo)出歐拉方程,不管變分也還可以理解,但一到變動(dòng)邊界的時(shí)候就費(fèi)解了,原因還是前面變分的物理意義沒(méi)弄懂,這種情況下只能充當(dāng)跟屁蟲。

不知道現(xiàn)在的很多老師是不懂還是故意藏著掖著,精髓不給人講,讓人摸不著頭腦,可悲可嘆!這個(gè)時(shí)代,人們盲目的迷信西方科學(xué),要知道歐拉、拉格朗日再牛,那也只是用自己的智慧闡釋了自然的規(guī)律,他們的起航工作固然可敬,但如果他說(shuō)啥就聽啥,那就是舍本逐末了,用符合自己思維方式的方法,配合前人的工作,理解自然規(guī)律才是正道,盲目的在人家的思維圈子里轉(zhuǎn)啊轉(zhuǎn),悲乎!個(gè)人愚見!

看到網(wǎng)上有個(gè)老師講變分,短短數(shù)講,通俗易懂,沒(méi)有大段的公式定理迷惑人,這才是育人的態(tài)度。不過(guò)變分還是一個(gè)比較深的理論,他講的一共一個(gè)多小時(shí),不足以覆蓋全部泛函變分的知識(shí),但對(duì)于理解變分的發(fā)展、思想還是一個(gè)很好的教程。 

以下是視頻主要內(nèi)容的總結(jié):

泛函如下:

設(shè)

其中:y(x)為解函數(shù),ε為控制因子

則解滿足:

最終得歐拉方程如下:

或

函數(shù)的變分即在函數(shù)上加一個(gè)擾動(dòng),注意自變量上沒(méi)有擾動(dòng),如下:

其中,δy為y的變分。

自變量的變分為0,即

某些量被拿來(lái)做另一些量的依據(jù),則這些量的變分為0。

變分與微分的可變換性:

所以變分與微分具有可交換性。

變分與積分地可交換性:

所以變分與積分具有可交換性。

函數(shù)的變分計(jì)算如下:

此公式類似于全微分的表達(dá)式,但全微分中的dx、dy、dz是實(shí)實(shí)在在的移動(dòng),而δx、δy、δz是人為加上去的擾動(dòng)。兩者的區(qū)別在于變分是一種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),但又由于變分也是微擾,故可用且需要用微分的公式計(jì)算。微擾的含義如下理解:

其中ε很微小,α、β、γ任意變化,微小體現(xiàn)了微,任意變化體現(xiàn)了擾。

故(δx, δy, δz)是三維空間中任意變化的向量,任意角度、任意長(zhǎng)度(微小)。

即梯度為0。

注意:之前提到自變量的變分為0,而這里又拿自變量的變分表示函數(shù)的變分,是不是矛盾呢?我覺(jué)得這可以用“某些量被拿來(lái)做另一些量的依據(jù),則這些量的變分為0”來(lái)解釋,在求泛函時(shí),考慮的是函數(shù)的擾動(dòng)對(duì)泛函值的影響,自變量為函數(shù)的依據(jù),其便分為0,而在具體計(jì)算函數(shù)的變分時(shí),則需要考慮自變量的變動(dòng)。(個(gè)人理解,講座中這一點(diǎn)沒(méi)講到)

函數(shù)上加微擾,泛函上有多大的差別,故定義如下:

上面的泰勒展開,由于后面是微量ε的高次項(xiàng),故略去。

除式泛函變分:

微分的變分:

設(shè)

兩函數(shù)的變化由同一個(gè)ε控制。

則

解得:

即為多應(yīng)變量的歐拉公式,可以推廣到更一般,如下:

如在輔助條件

求泛函的極值

最后得拉格朗日方程:

解得

即為奧氏方程。

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