網(wǎng)格大小對(duì)計(jì)算精度的影響及應(yīng)力集中時(shí)結(jié)果的可信性

2017-02-06  by:CAE仿真在線  來源:互聯(lián)網(wǎng)

理論上可以證明,如果插值函數(shù)使用了“協(xié)調(diào)和完整的位移函數(shù)”,則當(dāng)網(wǎng)格尺寸逐漸減小而單元數(shù)量增加時(shí),解就會(huì)單調(diào)收斂。

而且,當(dāng)單元數(shù)目增加時(shí),得到的剛度會(huì)降低,并收斂于真實(shí)剛度;這就意味著,當(dāng)單元增加時(shí),得到的位移增加,而收斂于精確位移解。其圖形如下:

這里所說的“協(xié)調(diào)和完整位移函數(shù)”,是指:

1.近似函數(shù)式一般是多項(xiàng)式。

2.近似函數(shù)在單元內(nèi)要保持連續(xù)。

3.近似函數(shù)應(yīng)提供單元間的連續(xù)性,包括離散單元每一個(gè)節(jié)點(diǎn)所有自由度都應(yīng)該是連續(xù)的,二維單元和三維單元沿著公共邊界線和公共面必須是連續(xù)的。

既能夠保證單元內(nèi)的連續(xù),又能夠保證單元間的連續(xù)的形函數(shù)稱為協(xié)調(diào)函數(shù)。

4.近似函數(shù)應(yīng)考慮剛體位移和單元內(nèi)的常應(yīng)變狀態(tài)。即有常數(shù)項(xiàng)保證剛體運(yùn)動(dòng)(無應(yīng)變的運(yùn)動(dòng)),而有一次項(xiàng)保證有常應(yīng)變狀態(tài)發(fā)生。這是形函數(shù)的完整性問題。

例如,對(duì)于一維單元而言,若取形函數(shù)

則同時(shí)滿足上面四個(gè)條件,稱為協(xié)調(diào)且完整的位移函數(shù)。

一般來說,我們所用的單元使用的位移函數(shù)都滿足上述四個(gè)條件,所以從理論上來說,只要網(wǎng)格加密,就可以收斂于真實(shí)解。

為了驗(yàn)證上述理論的真實(shí)性,我們選用了一個(gè)材料力學(xué)中的例子來做仿真。

該例子如下

使用材料力學(xué)的理論進(jìn)行求解,簡(jiǎn)要過程如下

使用ANSYS進(jìn)行分析,使用BEAM188單元,首先創(chuàng)建如圖所示的幾何模型

然后分別對(duì)各段直線加密網(wǎng)格劃分,得到的結(jié)果如下

上表中,第一列是劃分的單元數(shù),第二列是最大的壓應(yīng)力,第三列是最大的拉應(yīng)力?？梢钥吹?隨著單元數(shù)目的增加,最大拉伸,壓縮應(yīng)力的絕對(duì)值都在增加。

從材料力學(xué)得到的精確解,最大的壓應(yīng)力是-46.2MPa, 最大的拉應(yīng)力是28.8MPa。這樣,當(dāng)單元數(shù)增加到64個(gè)時(shí),壓應(yīng)力的誤差是(46.2-45.7)/46.2 =1.1%; 拉應(yīng)力的精度是(28.8-28.6)/28.8=0.7%.此時(shí)精度已經(jīng)相當(dāng)高了。

可以明顯的看出,隨著單元數(shù)目的增加,應(yīng)力解的確是在逐漸逼近真實(shí)解。從這個(gè)方面來說,加密網(wǎng)格的確是提高計(jì)算精度的有效方法。

這也意味著,我們?cè)谟邢拊抡嬷?如果要得到精確的結(jié)果,必須不斷細(xì)分網(wǎng)格,直到結(jié)果收斂。否則,我們的得到結(jié)果就是不可信的。

那么,對(duì)于任意的幾何模型,網(wǎng)格細(xì)分就一定能夠得到真實(shí)解嗎?這是每一個(gè)CAE分析工程師都關(guān)注的問題。

如果結(jié)構(gòu)中沒有應(yīng)力集中,答案是肯定的。

如果結(jié)構(gòu)中存在應(yīng)力集中,則結(jié)果未必會(huì)收斂。

為了說明這一點(diǎn),我們選取了一個(gè)平面應(yīng)力問題。它是一個(gè)角支座,其圖形及尺寸如下。在角支座上鉆了兩個(gè)孔,現(xiàn)在我們固定左上邊的孔,而在右下方孔的第四象限半圓上施加壓力。并通過不斷的加密網(wǎng)格來考慮計(jì)算結(jié)果的可信性。

生成的有限元模型如下

固定左上邊的孔,并對(duì)右下方孔施加右下方向的壓力,當(dāng)單元尺寸取5mm時(shí)候,應(yīng)力云圖如下

可見,此時(shí)最大應(yīng)力發(fā)生在拐角處,是34.383MPa

單元尺寸全局細(xì)分到3mm,結(jié)果是

最大應(yīng)力是44.44MPa

單元尺寸全局細(xì)分到1mm,結(jié)果是

最大應(yīng)力是74.004MPa

單元尺寸全局細(xì)分到0.4mm,結(jié)果是

最大應(yīng)力是112.873MPa

可見,結(jié)果并沒有收斂的趨勢(shì)。

如果我們進(jìn)一步細(xì)分網(wǎng)格,會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)無限增大,不會(huì)收斂。

實(shí)際上,理論證明,在該拐角處如果是直角,而沒有倒圓角的話,應(yīng)力集中系數(shù)會(huì)趨向無窮大,所以在實(shí)踐設(shè)計(jì)中絕對(duì)禁止出現(xiàn)這種直角。

這也意味著,如果我們?cè)谟邢拊治銮斑M(jìn)行模型簡(jiǎn)化時(shí),絕不可輕易將一些倒角隨便刪除,否則會(huì)出現(xiàn)奇怪的結(jié)果。

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