有限元學習感悟：僅學習軟件的使用技巧是遠不夠的【轉(zhuǎn)發(fā)】

2017-02-11 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

大三時候,學校開設了一門叫做“現(xiàn)代設計方法”的課程,在課程中老師向我們提到了一個新的名詞“有限元法”(finite element method)。至于當時講了些什么,記憶早已漫漶不清了。但是至今僅存的感受就是太復雜,太高深了。

我曾經(jīng)在當時的有限元講義上留下了孟子的一句話“登東山而小魯,登泰山而小天下,觀于海者難為水”。這句話不過是用來感嘆有限元理論的艱深難懂,意思大概是了解了有限元的博大精深之后其他的什么復雜的理論與之相比也會黯然失色,雖然用這句話來形容我對有限元法的感受并不十分貼切。

雖然開始覺得相當?shù)碾y懂,在學習完現(xiàn)代設計方法這門課后,也粗略的了解到有限元實質(zhì)上是求解偏微分問題的一種近似數(shù)值求解方法。至于具體的求解過程,以及其中涉及的各種復雜的理論并未理會過。

本科畢業(yè)設計的時候,我的課題涉及到利用有限元方法求解光機結(jié)構在穩(wěn)態(tài)溫度場下的熱變形問題,在那幾個月的時間里,通過各種渠道對有限元方法的具體實施過程開始有了初步的了解,借助網(wǎng)絡論壇上的算例,以及有限元軟件的輔導材料,并通過上機練習,我漸漸對有限元的求解過程有了大致的了解:對待求解的連續(xù)對象離散化,也就是將其劃分為有限多的單元(element),這些單元僅僅在單元的節(jié)點(Nodes)上聯(lián)系,然后通過某種物理或數(shù)學方法建立所有節(jié)點的方程組,利用插值可以近似獲得連續(xù)體內(nèi)部的解。

當時的認識也就到此而已,因為我更關心的是有限元軟件的使用而非有限元理論本身。但是忽略有限元的理論本身有給我?guī)砹撕芏鄦栴}。比如溫度分析時熱載荷的施加,在機構體表面具有對流換熱邊界條件時施加熱流密度的問題,熱輻射同對流換熱的等效問題,以及在實際工程問題中廣泛存在的接觸問題等等。

在使用有限元軟件Ansys的過程中,逐漸領悟到,僅僅學習軟件的使用技巧是遠遠不夠的,想要深入的理解有限元方法的本質(zhì),并能夠熟練自如的解決各種復雜的工程問題,必須從根本上掌握有限元分析的普遍方法,這樣才能以不變應萬變,并能夠熟知這種方法的局限性,并在此基礎上完善和改進。

在使用Ansys的過程中我體會到過分依賴技巧,雖然解題的熟練程度可以提高,但是這種提高時有限的,而且越到后來提升的空間越來越小,同時最大的問題在于人的思維方式被經(jīng)驗完全束縛,變得僵硬固化,成為思維定勢,問題稍稍變動,就像失去方向的雁群,在空中久久徘徊,叫聲哀婉凄涼。

現(xiàn)在已經(jīng)研究生了,這學期我又選修了《工程中的有限元方法》這門課程,以期通過系統(tǒng)的學習相關理論達到從本質(zhì)上理解和掌握有限元這種重要的工程方法的目的。老師推薦了《Introduction to Finite Elements in Engineering》這本書,我在較短的時間里通讀了一遍。雖然這本書寫的簡明易懂,但是對于初學者還是大有幫助,能夠使人在較短的時間里對有限元方法有一個全面的理解,并能熟悉該方法的難點和重點。

有限元的難點在于推導單元剛度矩陣,在推導的過程中涉及很復雜的物理和數(shù)學理論,而對于這些該本書講的并不夠深入,因而依舊停留在求解技巧的層次上,而對于技巧層次上的東西難以滿足我的要求。

在此基礎上我又在圖書館借了幾本有限元理論方面的書籍,在看的過程中貫穿有限元理論始終的,尤其是結(jié)構力學分析方面的,是最小勢能原理。通俗來講,受力體在滿足變形協(xié)調(diào)條件下的可能的存在狀態(tài)是無窮的,在這些無窮的存在狀態(tài)中僅僅存在一種是符合客觀規(guī)律的,而在這種形態(tài)下變形體的勢能最小。這就是最小勢能原理的不精確論述。但是最小勢能原理是針對結(jié)構分析時采用最多的也是最有效的一種方法,對于其他問題,比如溫度場,滲流,電磁場,流體場等問題就顯得蒼白無力了。

這是我當時的一些學習體會,而到后來學習了《變分法》,我的這一看法又有了改變。有限元方法實質(zhì)是偏微分方程的數(shù)值解法,由變分原理,偏微分方程的邊值問題等價于對應問題的泛函極值問題。事實上,最小勢能原理就是變分法中求解靜力學問題的一個特例。

推而廣之,那么勢能法能否推廣到其他物理問題中去呢?答案是肯定的。在很多物理問題的偏微分方程,都能找到一個勢能形式的泛函與該偏微分方程對應。在沈老師的有限元講義中關于溫度場有限元方程的推導,就涉及到了這種基于勢能泛函的方法。在滲流以及聲場中勢能泛函法也同樣可行?？梢妱菽芊ㄊ且环N適應性較廣的方法。

我就有這樣一個想法,關于其他學科,譬如控制系統(tǒng)的最優(yōu)設計,機械零件的最優(yōu)設計,甚至一些社會科學的問題是否也能夠通過勢能法求解呢?這里的勢能就應該是廣義的勢能,可以沒有明確的物理定義。當然由于學業(yè)繁重,同時能力有限,目前這些想法還沒有親自去實踐。

那么是否就是說基于泛函方法就一定能夠解決所有的與“場”有關的問題呢?不然,因為并不是所有的物理微分方程都能有與之對應的泛函提法。這就是泛函方法在解決這類問題時的弊端。因此,具有普遍性的方法并不意味著具有普適性(universality)。

正所謂“道可道,非常道;名可名,非常名”。道,可以理解為一種境界,一種游刃有余,來去自如的境界,一種以靜制動,以不變應萬變的境界。果真存在一種普適的方法,亦即“道”,那么這種方法必能闡明清楚,這與中國古代著名哲學家的思想相悖。由是,不存在著萬能的方法,任何方法都有其局限性。

道不能“名”,并不意味著不可以被感悟。在學習有限元的過程中,一開始感覺很難;接著,在學習軟件的使用過程中,逐漸掌握了有限元軟件使用的技巧;然后再看比較淺顯的《Introduction to Finite Elements in Engineering》書的過程中,認識到一種具有一定普遍性的勢能泛函方法,利用勢能方法,便能夠不再記憶繁多的公式,直接推導有限元方程;再通過較為系統(tǒng)的學習變分法,認識到一種更為普遍的求解物理偏微分方程的方法,同時也認識到其局限性。

在整個過程中,實踐與學習,思考再實踐再學習貫穿始終。雖然沒有找到求解物理偏微分方程的普適方法(實際上也不存在),但是卻感悟到一個道理,不要被看似極其復雜的事物嚇到,任何事物都是可以通過學習,實踐,思考這個反復的過程感知的。不僅僅是有限元,其他許多復雜的學科,只要遵循這個過程,再加上足夠的努力和耐心同樣可以攻克。推廣到世間萬物,人間萬事,莫不如此。蘇軾有詞云:“塵心消盡道心平,江南與塞北,何處不堪行”,說的就是一種以不變應萬變的境界。

誠然,有限元方法的相關數(shù)學理論還是相當復雜的,我只是初涉皮毛而已。但是,在這個過程中領悟到的一點東西卻會伴隨著我,使得我在學習和工作中,將能夠游刃有余,以不變應萬變。

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