有限元學(xué)習(xí)感悟：僅學(xué)習(xí)軟件的使用技巧是遠(yuǎn)不夠的【轉(zhuǎn)發(fā)】

2017-02-11 by:CAE仿真在線(xiàn) 來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

大三時(shí)候,學(xué)校開(kāi)設(shè)了一門(mén)叫做“現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法”的課程,在課程中老師向我們提到了一個(gè)新的名詞“有限元法”(finite element method)。至于當(dāng)時(shí)講了些什么,記憶早已漫漶不清了。但是至今僅存的感受就是太復(fù)雜,太高深了。

我曾經(jīng)在當(dāng)時(shí)的有限元講義上留下了孟子的一句話(huà)“登東山而小魯,登泰山而小天下,觀于海者難為水”。這句話(huà)不過(guò)是用來(lái)感嘆有限元理論的艱深難懂,意思大概是了解了有限元的博大精深之后其他的什么復(fù)雜的理論與之相比也會(huì)黯然失色,雖然用這句話(huà)來(lái)形容我對(duì)有限元法的感受并不十分貼切。

雖然開(kāi)始覺(jué)得相當(dāng)?shù)碾y懂,在學(xué)習(xí)完現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法這門(mén)課后,也粗略的了解到有限元實(shí)質(zhì)上是求解偏微分問(wèn)題的一種近似數(shù)值求解方法。至于具體的求解過(guò)程,以及其中涉及的各種復(fù)雜的理論并未理會(huì)過(guò)。

本科畢業(yè)設(shè)計(jì)的時(shí)候,我的課題涉及到利用有限元方法求解光機(jī)結(jié)構(gòu)在穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)下的熱變形問(wèn)題,在那幾個(gè)月的時(shí)間里,通過(guò)各種渠道對(duì)有限元方法的具體實(shí)施過(guò)程開(kāi)始有了初步的了解,借助網(wǎng)絡(luò)論壇上的算例,以及有限元軟件的輔導(dǎo)材料,并通過(guò)上機(jī)練習(xí),我漸漸對(duì)有限元的求解過(guò)程有了大致的了解:對(duì)待求解的連續(xù)對(duì)象離散化,也就是將其劃分為有限多的單元(element),這些單元僅僅在單元的節(jié)點(diǎn)(Nodes)上聯(lián)系,然后通過(guò)某種物理或數(shù)學(xué)方法建立所有節(jié)點(diǎn)的方程組,利用插值可以近似獲得連續(xù)體內(nèi)部的解。

當(dāng)時(shí)的認(rèn)識(shí)也就到此而已,因?yàn)槲腋P(guān)心的是有限元軟件的使用而非有限元理論本身。但是忽略有限元的理論本身有給我?guī)?lái)了很多問(wèn)題。比如溫度分析時(shí)熱載荷的施加,在機(jī)構(gòu)體表面具有對(duì)流換熱邊界條件時(shí)施加熱流密度的問(wèn)題,熱輻射同對(duì)流換熱的等效問(wèn)題,以及在實(shí)際工程問(wèn)題中廣泛存在的接觸問(wèn)題等等。

在使用有限元軟件Ansys的過(guò)程中,逐漸領(lǐng)悟到,僅僅學(xué)習(xí)軟件的使用技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,想要深入的理解有限元方法的本質(zhì),并能夠熟練自如的解決各種復(fù)雜的工程問(wèn)題,必須從根本上掌握有限元分析的普遍方法,這樣才能以不變應(yīng)萬(wàn)變,并能夠熟知這種方法的局限性,并在此基礎(chǔ)上完善和改進(jìn)。

在使用Ansys的過(guò)程中我體會(huì)到過(guò)分依賴(lài)技巧,雖然解題的熟練程度可以提高,但是這種提高時(shí)有限的,而且越到后來(lái)提升的空間越來(lái)越小,同時(shí)最大的問(wèn)題在于人的思維方式被經(jīng)驗(yàn)完全束縛,變得僵硬固化,成為思維定勢(shì),問(wèn)題稍稍變動(dòng),就像失去方向的雁群,在空中久久徘徊,叫聲哀婉凄涼。

現(xiàn)在已經(jīng)研究生了,這學(xué)期我又選修了《工程中的有限元方法》這門(mén)課程,以期通過(guò)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)相關(guān)理論達(dá)到從本質(zhì)上理解和掌握有限元這種重要的工程方法的目的。老師推薦了《Introduction to Finite Elements in Engineering》這本書(shū),我在較短的時(shí)間里通讀了一遍。雖然這本書(shū)寫(xiě)的簡(jiǎn)明易懂,但是對(duì)于初學(xué)者還是大有幫助,能夠使人在較短的時(shí)間里對(duì)有限元方法有一個(gè)全面的理解,并能熟悉該方法的難點(diǎn)和重點(diǎn)。

有限元的難點(diǎn)在于推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃?在推導(dǎo)的過(guò)程中涉及很復(fù)雜的物理和數(shù)學(xué)理論,而對(duì)于這些該本書(shū)講的并不夠深入,因而依舊停留在求解技巧的層次上,而對(duì)于技巧層次上的東西難以滿(mǎn)足我的要求。

在此基礎(chǔ)上我又在圖書(shū)館借了幾本有限元理論方面的書(shū)籍,在看的過(guò)程中貫穿有限元理論始終的,尤其是結(jié)構(gòu)力學(xué)分析方面的,是最小勢(shì)能原理。通俗來(lái)講,受力體在滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)條件下的可能的存在狀態(tài)是無(wú)窮的,在這些無(wú)窮的存在狀態(tài)中僅僅存在一種是符合客觀規(guī)律的,而在這種形態(tài)下變形體的勢(shì)能最小。這就是最小勢(shì)能原理的不精確論述。但是最小勢(shì)能原理是針對(duì)結(jié)構(gòu)分析時(shí)采用最多的也是最有效的一種方法,對(duì)于其他問(wèn)題,比如溫度場(chǎng),滲流,電磁場(chǎng),流體場(chǎng)等問(wèn)題就顯得蒼白無(wú)力了。

這是我當(dāng)時(shí)的一些學(xué)習(xí)體會(huì),而到后來(lái)學(xué)習(xí)了《變分法》,我的這一看法又有了改變。有限元方法實(shí)質(zhì)是偏微分方程的數(shù)值解法,由變分原理,偏微分方程的邊值問(wèn)題等價(jià)于對(duì)應(yīng)問(wèn)題的泛函極值問(wèn)題。事實(shí)上,最小勢(shì)能原理就是變分法中求解靜力學(xué)問(wèn)題的一個(gè)特例。

推而廣之,那么勢(shì)能法能否推廣到其他物理問(wèn)題中去呢?答案是肯定的。在很多物理問(wèn)題的偏微分方程,都能找到一個(gè)勢(shì)能形式的泛函與該偏微分方程對(duì)應(yīng)。在沈老師的有限元講義中關(guān)于溫度場(chǎng)有限元方程的推導(dǎo),就涉及到了這種基于勢(shì)能泛函的方法。在滲流以及聲場(chǎng)中勢(shì)能泛函法也同樣可行。可見(jiàn)勢(shì)能法是一種適應(yīng)性較廣的方法。

我就有這樣一個(gè)想法,關(guān)于其他學(xué)科,譬如控制系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì),機(jī)械零件的最優(yōu)設(shè)計(jì),甚至一些社會(huì)科學(xué)的問(wèn)題是否也能夠通過(guò)勢(shì)能法求解呢?這里的勢(shì)能就應(yīng)該是廣義的勢(shì)能,可以沒(méi)有明確的物理定義。當(dāng)然由于學(xué)業(yè)繁重,同時(shí)能力有限,目前這些想法還沒(méi)有親自去實(shí)踐。

那么是否就是說(shuō)基于泛函方法就一定能夠解決所有的與“場(chǎng)”有關(guān)的問(wèn)題呢?不然,因?yàn)椴⒉皇撬械奈锢砦⒎址匠潭寄苡信c之對(duì)應(yīng)的泛函提法。這就是泛函方法在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)的弊端。因此,具有普遍性的方法并不意味著具有普適性(universality)。

正所謂“道可道,非常道;名可名,非常名”。道,可以理解為一種境界,一種游刃有余,來(lái)去自如的境界,一種以靜制動(dòng),以不變應(yīng)萬(wàn)變的境界。果真存在一種普適的方法,亦即“道”,那么這種方法必能闡明清楚,這與中國(guó)古代著名哲學(xué)家的思想相悖。由是,不存在著萬(wàn)能的方法,任何方法都有其局限性。

道不能“名”,并不意味著不可以被感悟。在學(xué)習(xí)有限元的過(guò)程中,一開(kāi)始感覺(jué)很難;接著,在學(xué)習(xí)軟件的使用過(guò)程中,逐漸掌握了有限元軟件使用的技巧;然后再看比較淺顯的《Introduction to Finite Elements in Engineering》書(shū)的過(guò)程中,認(rèn)識(shí)到一種具有一定普遍性的勢(shì)能泛函方法,利用勢(shì)能方法,便能夠不再記憶繁多的公式,直接推導(dǎo)有限元方程;再通過(guò)較為系統(tǒng)的學(xué)習(xí)變分法,認(rèn)識(shí)到一種更為普遍的求解物理偏微分方程的方法,同時(shí)也認(rèn)識(shí)到其局限性。

在整個(gè)過(guò)程中,實(shí)踐與學(xué)習(xí),思考再實(shí)踐再學(xué)習(xí)貫穿始終。雖然沒(méi)有找到求解物理偏微分方程的普適方法(實(shí)際上也不存在),但是卻感悟到一個(gè)道理,不要被看似極其復(fù)雜的事物嚇到,任何事物都是可以通過(guò)學(xué)習(xí),實(shí)踐,思考這個(gè)反復(fù)的過(guò)程感知的。不僅僅是有限元,其他許多復(fù)雜的學(xué)科,只要遵循這個(gè)過(guò)程,再加上足夠的努力和耐心同樣可以攻克。推廣到世間萬(wàn)物,人間萬(wàn)事,莫不如此。蘇軾有詞云:“塵心消盡道心平,江南與塞北,何處不堪行”,說(shuō)的就是一種以不變應(yīng)萬(wàn)變的境界。

誠(chéng)然,有限元方法的相關(guān)數(shù)學(xué)理論還是相當(dāng)復(fù)雜的,我只是初涉皮毛而已。但是,在這個(gè)過(guò)程中領(lǐng)悟到的一點(diǎn)東西卻會(huì)伴隨著我,使得我在學(xué)習(xí)和工作中,將能夠游刃有余,以不變應(yīng)萬(wàn)變。

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