搜索有限元網(wǎng)格劃分
2016-12-15 by:CAE仿真在線 來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)
首先,研究和分析有限元網(wǎng)格劃分的基本原則;其次,對(duì)當(dāng)前典型網(wǎng)格劃分方法進(jìn)行科學(xué)地分類,結(jié)合實(shí)例,系統(tǒng)地分析各種網(wǎng)格劃分方法的機(jī)理、特點(diǎn)及其適用范圍,如映射法、基于柵格法、節(jié)點(diǎn)連元法、拓?fù)浞纸夥ā缀畏纸夥ê蛼呙璺ǖ?再次,闡述當(dāng)前網(wǎng)格劃分的研究熱點(diǎn),綜述六面體網(wǎng)格和曲面網(wǎng)格劃分技術(shù);最后,展望有限元網(wǎng)格劃分的發(fā)展趨勢(shì)。
1引言
有限元網(wǎng)格劃分是進(jìn)行有限元數(shù)值模擬分析至關(guān)重要的一步,它直接影響著后續(xù)數(shù)值計(jì)算分析結(jié)果的精確性。網(wǎng)格劃分涉及單元的形狀及其拓?fù)漕愋?、單元類型、網(wǎng)格生成器的選擇、網(wǎng)格的密度、單元的編號(hào)以及幾何體素。在有限元數(shù)值求解中,單元的等效節(jié)點(diǎn)力、剛度矩陣、質(zhì)量矩陣等均用數(shù)值積分生成,連續(xù)體單元以及殼、板、梁?jiǎn)卧拿鎯?nèi)均采用高斯(Gauss)積分,而殼、板、梁?jiǎn)卧暮穸确较虿捎眯疗丈?Simpson)積分。
2有限元網(wǎng)格劃分的基本原則
有限元方法的基本思想是將結(jié)構(gòu)離散化,即對(duì)連續(xù)體進(jìn)行離散化,利用簡(jiǎn)化幾何單元來(lái)近似逼近連續(xù)體,然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件綜合求解。所以有限元網(wǎng)格的劃分一方面要考慮對(duì)各物體幾何形狀的準(zhǔn)確描述,另一方面也要考慮變形梯度的準(zhǔn)確描述。為正確、合理地建立有限元模型,這里介紹劃分網(wǎng)格時(shí)應(yīng)考慮的一些基本原則。
2.1 網(wǎng)格數(shù)量
網(wǎng)格數(shù)量直接影響計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)耗,網(wǎng)格數(shù)量增加會(huì)提高計(jì)算精度,但同時(shí)計(jì)算時(shí)耗也會(huì)增加。當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量較少時(shí)增加網(wǎng)格,計(jì)算精度可明顯提高,但計(jì)算時(shí)耗不會(huì)有明顯增加;當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量增加到一定程度后,再繼續(xù)增加網(wǎng)格時(shí)精度提高就很小,而計(jì)算時(shí)耗卻大幅度增加。所以在確定網(wǎng)格數(shù)量時(shí)應(yīng)權(quán)衡這兩個(gè)因素綜合考慮。
2.2 網(wǎng)格密度
為了適應(yīng)應(yīng)力等計(jì)算數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn),在結(jié)構(gòu)不同部位需要采用大小不同的網(wǎng)格。在孔的附近有集中應(yīng)力,因此網(wǎng)格需要加密;周邊應(yīng)力梯度相對(duì)較小,網(wǎng)格劃分較稀。由此反映了疏密不同的網(wǎng)格劃分原則:在計(jì)算數(shù)據(jù)變化梯度較大的部位,為了較好地反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律,需要采用比較密集的網(wǎng)格;而在計(jì)算數(shù)據(jù)變化梯度較小的部位,為減小模型規(guī)模,網(wǎng)格則應(yīng)相對(duì)稀疏。
2.3 單元階次
單元階次與有限元的計(jì)算精度有著密切的關(guān)聯(lián),單元一般具有線性、二次和三次等形式,其中二次和三次形式的單元稱為高階單元。高階單元的曲線或曲面邊界能夠更好地逼近結(jié)構(gòu)的曲線和曲面邊界,且高次插值函數(shù)可更高精度地逼近復(fù)雜場(chǎng)函數(shù),所以增加單元階次可提高計(jì)算精度。但增加單元階次的同時(shí)網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)數(shù)也會(huì)隨之增加,在網(wǎng)格數(shù)量相同的情況下由高階單元組成的模型規(guī)模相對(duì)較大,因此在使用時(shí)應(yīng)權(quán)衡考慮計(jì)算精度和時(shí)耗。
2.4 單元形狀
網(wǎng)格單元形狀的好壞對(duì)計(jì)算精度有著很大的影響,單元形狀太差的網(wǎng)格甚至?xí)兄褂?jì)算。單元形狀評(píng)價(jià)一般有以下幾個(gè)指標(biāo):
(1)單元的邊長(zhǎng)比、面積比或體積比以正三角形、正四面體、正六面體為參考基準(zhǔn)。
(2)扭曲度:單元面內(nèi)的扭轉(zhuǎn)和面外的翹曲程度。
(3)節(jié)點(diǎn)編號(hào):節(jié)點(diǎn)編號(hào)對(duì)于求解過(guò)程中總剛矩陣的帶寬和波前因數(shù)有較大的影響,從而影響計(jì)算時(shí)耗和存儲(chǔ)容量的大小
2.5 單元協(xié)調(diào)性
單元協(xié)調(diào)是指單元上的力和力矩能夠通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞給相鄰單元。為保證單元協(xié)調(diào),必須滿足的條件是:
(1)一個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)必須同時(shí)也是相鄰點(diǎn),而不應(yīng)是內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)。
(2)相鄰單元的共有節(jié)點(diǎn)具有相同的自由度性質(zhì)。另外,有相同自由度的單元網(wǎng)格也并非一定協(xié)調(diào)。
3網(wǎng)格生成通用方法
有限元網(wǎng)格劃分方法難以準(zhǔn)確分類,分類方法有很多,可以按產(chǎn)生的單元類型、生成單元的維數(shù)、自動(dòng)化程度等進(jìn)行分類。
3.1 映射法
映射法的基本思想是實(shí)際圖形與標(biāo)準(zhǔn)圖形的雙向映射,具體有三個(gè)步驟:
(1)根據(jù)形體邊界的參數(shù)方程,利用適當(dāng)?shù)挠成浜瘮?shù),將待劃分的物理域映射到參數(shù)空間,形成規(guī)則參數(shù)域;
(2)對(duì)參數(shù)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分;
(3)將參數(shù)空間內(nèi)單元的網(wǎng)格反向映射到歐氏空間,從而生成實(shí)際的網(wǎng)格。
這種網(wǎng)格控制機(jī)理有以下幾個(gè)缺點(diǎn):
(1)映射法不是完全面向幾何特征的,所以很難完成自動(dòng)化,尤其是對(duì)于3D區(qū)域;
(2)網(wǎng)格局部控制能力差;
(3)各映射塊之間的網(wǎng)格密度相互影響程度很大,改變某一映射塊的網(wǎng)格密度,其它映射塊的網(wǎng)格都要做相應(yīng)的調(diào)整;
(4)對(duì)于形狀較為復(fù)雜的形體適應(yīng)性差,要求事先根據(jù)所要產(chǎn)生的網(wǎng)格類型將目標(biāo)域分割成一系列可映射的子區(qū)域。子域分解繁瑣,所需人工交互多,難以實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格自動(dòng)的生成。
3.2 基于柵格法
基于柵格法也叫空間分解法。該算法的基本流程:首先用一組不相交的柵格覆蓋在物體之上,既可在柵格的規(guī)則點(diǎn)處布置節(jié)點(diǎn),也可在柵格單元中隨機(jī)布置節(jié)點(diǎn);再對(duì)柵格和物體進(jìn)行相交檢測(cè),保留完全或部分落在目標(biāo)區(qū)域之內(nèi)的柵格,刪除完全落在目標(biāo)區(qū)域之外的柵格;然后對(duì)與物體邊界相交的柵格進(jìn)行調(diào)整、剪裁、再分解等操作,使其更準(zhǔn)確地逼近目標(biāo)區(qū)域;最后對(duì)內(nèi)部柵格和邊界柵格進(jìn)行柵格級(jí)的網(wǎng)格剖分,進(jìn)而得到整個(gè)目標(biāo)區(qū)域的有限元網(wǎng)格。
3.3 節(jié)點(diǎn)連元法
節(jié)點(diǎn)連元法一般分為兩步:(1)在物體的邊界和有效區(qū)域內(nèi)按照網(wǎng)格密度的要求均勻布點(diǎn);(2)根據(jù)一定的準(zhǔn)則將這些節(jié)點(diǎn)連接成三角形或四面體網(wǎng)格。
3.4 拓?fù)浞纸夥?/strong>
拓?fù)浞纸夥ㄋ紫仁怯捎?guó)劍橋大學(xué)的Wordenwaber提出來(lái)的。拓?fù)浞纸夥ㄊ菑男误w的拓?fù)湟蛩刂诌M(jìn)行分割,而不過(guò)問(wèn)元素的具體形狀。首先假設(shè)網(wǎng)格頂點(diǎn)全部由目標(biāo)邊界頂點(diǎn)組成,那么可以用一種三角化算法將目標(biāo)用盡量少的三角形完全分割覆蓋。
3.5 幾何分解法
幾何分解法最大的特點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)和單元同步生成。該方法較多地考慮了待分域的幾何特征,確保生成質(zhì)量較好的網(wǎng)格單元
3.6 掃描法
掃描法是將離散化的基本單元形體進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、掃描、拉伸等操作,獲得高維網(wǎng)格的一種方法。這種方法難度較低,容易實(shí)現(xiàn),在當(dāng)今大多數(shù)商用CAD軟件和有限元前置處理軟件中均有這種功能。但是這種方法只適合于形狀簡(jiǎn)單的三維物體,且主要靠人機(jī)交互來(lái)實(shí)現(xiàn),自動(dòng)化程度低。
4 研究熱點(diǎn)
近年來(lái)有限元分析在各種工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用,網(wǎng)格劃分技術(shù)的理論基礎(chǔ)已日趨成熟。近幾年有限元網(wǎng)格劃分的研究領(lǐng)域已由二維平面問(wèn)題轉(zhuǎn)移到三維實(shí)體,研究重點(diǎn)已經(jīng)由三角形(四面體)網(wǎng)格轉(zhuǎn)變?yōu)樗倪呅?六面體)網(wǎng)格,注重網(wǎng)格的全自動(dòng)生成、網(wǎng)格自適應(yīng)等研究。
4.1 六面體網(wǎng)格劃分
當(dāng)前,六面體單元網(wǎng)格生成算法主要有映射單元法、單元轉(zhuǎn)換法、基于柵格法、多子區(qū)域法、掃描法和投影法等。
映射單元法:先把三維實(shí)體分成幾個(gè)大的20節(jié)點(diǎn)六面體區(qū),然后使用形函數(shù)映射技術(shù)把各個(gè)六面體區(qū)域映射為很多細(xì)小的8節(jié)點(diǎn)六面體單元。
單元轉(zhuǎn)換法:通過(guò)其他單元轉(zhuǎn)化為六面體單元。
基于柵格法:首先產(chǎn)生六面體網(wǎng)格模板,將其覆蓋到需要網(wǎng)格化的三維實(shí)體上。
多子區(qū)域法:分為三個(gè)主要步驟:首先將復(fù)雜目標(biāo)域分解為一定數(shù)量的簡(jiǎn)單子區(qū)域,然后對(duì)每個(gè)子區(qū)域進(jìn)行六面體網(wǎng)格劃分,最后將各個(gè)子區(qū)域的網(wǎng)格組合成全局網(wǎng)格,從而形成目標(biāo)域的整體網(wǎng)格
掃描法:是由二維四邊形有限元網(wǎng)格通過(guò)旋轉(zhuǎn)、掃描、拉伸等操作而形成六面體網(wǎng)格的一種方法。
投影法:是利用良好的四面體網(wǎng)格作為投影網(wǎng)格,通過(guò)模板網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)與待分實(shí)體表面關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系控制投影的路徑與比例縮放情況。
4.2 曲面網(wǎng)格劃分
工程結(jié)構(gòu)中常用的薄殼結(jié)構(gòu)都是由自由曲面組合而成的。三維曲面是三維實(shí)體的退化,是一種特殊形式,三維曲面的有限元網(wǎng)格劃分的應(yīng)用范圍很廣。目前的曲面網(wǎng)格生成方法可粗略地分為直接法和映射法兩種。
直接法的曲面網(wǎng)格劃分是直接在曲面的物理空間進(jìn)行,網(wǎng)格劃分過(guò)程直接以曲面的局部幾何形態(tài)為參考,并根據(jù)曲面的局部狀況采取不同的剖分策略
映射法首先將曲面邊界映射到二維參數(shù)空間,在二維參數(shù)空間中進(jìn)行網(wǎng)格劃分,然后將劃分結(jié)果反向映射到物理空間形成曲面網(wǎng)格,
5展望
目前有限元網(wǎng)格生成技術(shù)已經(jīng)相當(dāng)成熟,可以實(shí)現(xiàn)三維領(lǐng)域的網(wǎng)格劃分全自動(dòng),但在網(wǎng)格劃分方面依然有很大的研究空間。有限元網(wǎng)格劃分還有許多難題沒(méi)有得到徹底解決,網(wǎng)格劃分的效率、單元質(zhì)量等還有待進(jìn)一步提高。
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