深入淺出地講解麥克斯韋方程組

有人要求不講微積分來(lái)講解一下麥克斯韋方程組?感覺(jué)到基本不太可能啊,你不知道麥克斯韋方程組里面每個(gè)方程都是一個(gè)積分或者微分么??那既然這樣,我只能躲躲閃閃,不細(xì)談任何具體的推導(dǎo)和數(shù)學(xué)關(guān)系,純粹揮揮手扯扯淡地說(shuō)一說(shuō)電磁學(xué)里的概念和思想。

1. 力、能、場(chǎng)、勢(shì)

經(jīng)典物理研究的一個(gè)重要對(duì)象就是力 force。比如牛頓力學(xué)的核心就是 F=ma 這個(gè)公式,剩下的什么平拋圓周簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)都可以用這貨加上微積分推出來(lái)。但是力有一點(diǎn)不好,它是個(gè)向量 vector(既有大小又有方向),所以即便是簡(jiǎn)單的受力分析,想解出運(yùn)動(dòng)方程卻難得要死。很多時(shí)候,從能量的角度出發(fā)反而問(wèn)題會(huì)變得簡(jiǎn)單很多。能量 energy 說(shuō)到底就是力在空間上的積分(能量=功=力×距離),所以和力是有緊密聯(lián)系的,而且能量是個(gè)標(biāo)量 scalar,加減乘除十分方便。分析力學(xué)中的拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)就繞開(kāi)了力,從能量出發(fā),算運(yùn)動(dòng)方程比牛頓力學(xué)要簡(jiǎn)便得多。

在電磁學(xué)里,我們通過(guò)力定義出了場(chǎng) field 的概念。我們注意到洛侖茲力總有著 F=q(E+v×B) 的形式,具體不談,單看這個(gè)公式就會(huì)發(fā)現(xiàn)力和電荷(或電荷×速度)程正比。那么我們便可以刨去電荷(或電荷×速度)的部分,僅僅看剩下的這個(gè)“系數(shù)”有著怎樣的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。也就是說(shuō),場(chǎng)是某種遍布在空間中的東西,當(dāng)電荷置于場(chǎng)中時(shí)便會(huì)受力。具體到兩個(gè)電荷間的庫(kù)侖力的例子,就可以理解為一個(gè)電荷制造了電場(chǎng),而另一個(gè)電荷在這個(gè)電場(chǎng)中受到了力,反之亦然。類似地我們也可以對(duì)能量做相同的事情,刨去能量中的電荷(或電荷×速度),剩下的部分便是勢(shì) potential

一張圖表明關(guān)系:

積分形式:

微分形式:

先不說(shuō)任何細(xì)節(jié),我們可以觀察一下等式的左邊。四個(gè)方程中,兩個(gè)是關(guān)于電場(chǎng) E 的,兩個(gè)是關(guān)于磁場(chǎng) B 的;兩個(gè)是曲面積分 ∫da 或者散度 ? ·,兩個(gè)是曲線積分 ∫dl 或者旋度 ? ×。不要管這些術(shù)語(yǔ)都是什么意思,我后面會(huì)講到。但光看等式左邊,我們就能看出四個(gè)式子分別描述電場(chǎng)和磁場(chǎng)的兩個(gè)東西,非常對(duì)稱。

3. 電荷 -> 電場(chǎng),電流 -> 磁場(chǎng)
這一部分和下一部分中,我來(lái)簡(jiǎn)單講解四個(gè)式子分別代表什么意思,而不涉及任何定量和具體的計(jì)算。

我們從兩個(gè)電荷之間的庫(kù)侖力講起。庫(kù)侖定律 Coulomb's Law 是電學(xué)中大家接觸到的最早的定律,有如下形式:

高中里應(yīng)該還學(xué)過(guò)安培定律 Ampere's Law,也就是電流產(chǎn)生磁場(chǎng)的定律。雖然沒(méi)有學(xué)過(guò)具體表達(dá)式,但我們已經(jīng)能看出它與庫(kù)侖定律之間的區(qū)別。庫(kù)侖定律描述了“兩個(gè)”微小來(lái)源(電荷)之間的“力”,而安培定律是描述了“一個(gè)”來(lái)源(電流)產(chǎn)生的“場(chǎng)”。事實(shí)上,電磁學(xué)中也有磁場(chǎng)版本的庫(kù)侖定律,描述了兩個(gè)微小電流之間的力,叫做畢奧 - 薩伐爾定律 Biot-Savart Law;反之,也有電場(chǎng)版本的安培定律,描述了一個(gè)電荷產(chǎn)生的磁場(chǎng),叫做高斯定律 Gauss's Law。這四個(gè)定律之間有如下關(guān)系:

數(shù)學(xué)上可以證明庫(kù)侖定律(畢奧 - 薩伐爾定律)和高斯定律(安培定律)在靜電學(xué)(靜磁學(xué))中是完全等價(jià)的,也就是說(shuō)我們可以任意假設(shè)一個(gè)定律,從而推導(dǎo)出另一個(gè)定律。然而如果我們想從靜止的靜電學(xué)和靜磁學(xué)推廣到電動(dòng)力學(xué),前者是非常不便的而后者很卻容易,所以盡管庫(kù)侖定律在中學(xué)中常常提到,麥克斯韋方程組中卻沒(méi)有它,有的是高斯定律和安培定律。這兩個(gè)定律分別是麥克斯韋方程組里的 (1) 和 (4) 的第一項(xiàng),即:

高斯定律(積分、微分形式):

安培定律(積分、微分形式):

安培 - 麥克斯韋定律(積分、微分形式):

曲面積分(通量)不為 0:

曲線積分為 0:

特別地,如果曲線是閉合的(首尾相連的),那么我們可以在積分符號(hào) ∫ 上畫(huà)一個(gè)圈,表示閉合,然后這個(gè)特殊的曲線積分叫做環(huán)量 circulation,因?yàn)槭欠e了一個(gè)環(huán)嘛。很顯然,如果 F 是個(gè)保守力場(chǎng),那么我隨便找一個(gè)閉合曲線,做的功都一定為 0(這就是保守力場(chǎng)的定義啊),所以保守力場(chǎng)的任意環(huán)量都為 0。最后一提,“環(huán)量”這個(gè)名字很少使用,一般就直接叫做“閉合曲線的積分”。

定義一個(gè)通量所使用的曲面 S 則不一定要是閉合的,任何曲面都可以。如果這個(gè)曲面很特殊恰好是閉合的,我們也可以在積分符號(hào)∫∫上畫(huà)上一個(gè)圈,代表閉合,但這個(gè)量則沒(méi)有一個(gè)特殊的名字了。

總結(jié)如下表:

6. 麥克斯韋方程組的積分形式

(1)、高斯定律:

例子5:假設(shè)我們把電荷移到這個(gè)曲面外面,那么電場(chǎng)線會(huì)從這個(gè)球的一面穿透進(jìn)去,然后從另一面出來(lái),所以當(dāng)我們做積分的時(shí)候,兩個(gè)方向的通量抵消了,整個(gè)“閉合曲面?V 的通量”為 0,而此時(shí)我們的曲面沒(méi)有包裹住任何電荷,所以“該曲面包裹住的電荷”也為 0。等式成立。

(2) 法拉第定律:

例子6:一圈閉合導(dǎo)線,環(huán)住了一塊曲面 S,則記這個(gè)曲線的位置為 ?S,那么經(jīng)過(guò) ?S 的電場(chǎng) E 的環(huán)量其實(shí)就是導(dǎo)線內(nèi)的電勢(shì)(電壓)。垂直于 S 通過(guò)一些磁場(chǎng) B,則通過(guò) S 的磁通量不為 0。然而此時(shí)導(dǎo)線內(nèi)并沒(méi)有電流,也就是說(shuō),并沒(méi)有電壓,“閉合曲線 ?S 的環(huán)量”為 0。這是很顯然的,因?yàn)榇磐坎](méi)有變化,沒(méi)有電磁感應(yīng),換句話說(shuō),“曲面 S 上的通量的變化率”為 0。

例子7:這個(gè)時(shí)候我突然增加磁場(chǎng),所以磁通量變大了,“磁通量的變化率”為正,不為 0。因此,等式的左邊“閉合曲線 ?S 的環(huán)量”也為正,不為 0,也就是說(shuō),導(dǎo)線內(nèi)產(chǎn)生了一些電壓,繼而產(chǎn)生了一些感應(yīng)電流。這正是大家熟悉的法拉第電磁感應(yīng)。

例子8:如果我不是增加磁場(chǎng),而是減小磁場(chǎng),那么磁通量變小了,“磁通量的變化率”為負(fù)。那么等式左邊“閉合曲線 ?S 的環(huán)量”也獲得了一個(gè)負(fù)號(hào),換句話說(shuō),感應(yīng)電流的方向反了過(guò)來(lái)。

(3) 高斯磁定律:

例子9:隨便選擇一個(gè)閉合曲面,整個(gè)曲面上的磁通量一定為 0。這和電場(chǎng)的情況迥然不同,因此說(shuō)明,不像有可以產(chǎn)生電場(chǎng)的“電荷”,這個(gè)世界上是沒(méi)有能單獨(dú)產(chǎn)生磁場(chǎng)的“磁荷”(也就是“磁單極子”)的。 (4) 安培 - 麥克斯韋定律:

例子10:假設(shè)我們有一個(gè)電流 I,以其為軸作一個(gè)圓,把這個(gè)圓稱為 S,那么 ?S 就是這個(gè)圓的邊緣。這個(gè)電流 I 產(chǎn)生了一些磁場(chǎng),(按照右手定則)繞著導(dǎo)線。顯然磁場(chǎng)線和?S 都是“繞著導(dǎo)線”,方向一致,所以“閉合曲線 ?S 的環(huán)量”是個(gè)正數(shù),不為 0,而“該曲線環(huán)住的電流”為 I,也不為 0。

例子11:假設(shè)我們改變電流方向,即把 I 變成 -I,那么所有的磁場(chǎng)線方向都反過(guò)來(lái)了,?S 的環(huán)量也因此獲得了一個(gè)負(fù)號(hào),所以“閉合曲線 ?S 的環(huán)量”和“該曲線環(huán)住的電流”均獲得一個(gè)負(fù)號(hào)。等式再一次成立。

例子12:和高斯定律很像,我們隨便怎么改變這一個(gè)環(huán)的大小、面積,只要環(huán)住的電流不變,算出來(lái)的環(huán)量都不會(huì)變(盡管可能會(huì)非常難算)。而若電流在這個(gè)環(huán)外面,盡管仍然有磁場(chǎng)存在,但在計(jì)算環(huán)量時(shí)相互抵消,使得等式兩邊都變成 0。

例子13:“變化的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)”(即第二項(xiàng))的例子非常難找,這也正是安培當(dāng)年沒(méi)有自己發(fā)現(xiàn)、非要等到麥克斯韋幫忙才發(fā)現(xiàn)的原因。我這里不妨不再細(xì)述,讀者只要接受這個(gè)設(shè)定就好。有興趣的讀者可以自己思考一個(gè)這種情況的例子。

最后,還記得我們之前說(shuō)過(guò)“保守力場(chǎng)的任意環(huán)量都為 0”嗎?顯然,要想讓磁場(chǎng)的環(huán)量為 0,那就只能既沒(méi)有電流(方程 (4) 中的第一項(xiàng)),也沒(méi)有變化的電通量(第二項(xiàng)),那么磁場(chǎng)只能為 0。換言之,任何磁場(chǎng)都不是保守力場(chǎng)。想讓電場(chǎng)的通量為 0 還比較簡(jiǎn)單,

只需要令磁通量不變(方程 (2))就好了。換言之,只有在靜電學(xué)(電磁場(chǎng)均靜止不變)中,靜電場(chǎng)才是保守力場(chǎng)。

7. 向量微分
麥克斯韋方程組描述了所有的電磁現(xiàn)象,從每個(gè)方程的名字也可以看出,方程組總結(jié)、整合了前人(庫(kù)侖、高斯、安培、法拉第等)發(fā)現(xiàn)的各種現(xiàn)象和其方程(在麥克斯韋以前這樣的方程可能有數(shù)十個(gè)),而麥克斯韋把它們總結(jié)歸納到了一起,用短短四個(gè)公式涵蓋了所有現(xiàn)象,非常了不起。然而平心而論,積分形式仍然顯得頗為繁瑣,
原因有二:
1. 積分是很難算的,雖然每一個(gè)方程的左右兩邊都必然相等,但隨便給你一個(gè)場(chǎng)和一個(gè)曲面 / 曲線,想把左側(cè)的積分算出來(lái)極為困難;
2. 也正因?yàn)槿绱?我們盡管有可以描述電磁場(chǎng)的方程,但給定一個(gè)特定的來(lái)源(比如天線中一個(gè)來(lái)回?fù)u擺的電荷),我們想算出具體的 E 和 B 也是極為困難,因?yàn)槲覀冎恢?E 和 B 在某個(gè)特殊曲面 / 曲線上的積分。

這就是微分形式的好處。首先,計(jì)算一個(gè)給定向量場(chǎng)的微分(散度和旋度)是很簡(jiǎn)單的,只要使用之前提到過(guò)的 ? · 和 ? × 算符就好,而這兩個(gè)算符都有一套固定的算法。其次,散度和旋度代表著一個(gè)向量場(chǎng)的兩種不同的自由度,有著非常直接的幾何意義,從這兩個(gè)量中恢復(fù)出向量場(chǎng)也是比較直觀的過(guò)程。當(dāng)然,我們又需要再準(zhǔn)備一些向量微積分的知識(shí),其中的重點(diǎn)就是散度和旋度。

散度 divergence,顧名思義,是指一個(gè)向量場(chǎng)發(fā)散的程度。一個(gè)向量場(chǎng) F 的散度是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)(向量場(chǎng)的每一點(diǎn)有一個(gè)自己的散度),寫(xiě)作 ? · F(這個(gè)寫(xiě)法也很直白,因?yàn)辄c(diǎn)乘就是標(biāo)量)。如果一個(gè)點(diǎn)的散度為正,那么在這一點(diǎn)上 F 有向外發(fā)散的趨勢(shì);如果為負(fù),那么在這一點(diǎn)上 F 有向內(nèi)收斂的趨勢(shì)。

旋度 curl 則指一個(gè)向量場(chǎng)旋轉(zhuǎn)的程度。一個(gè)向量場(chǎng) F 的旋度是一個(gè)向量場(chǎng)(向量場(chǎng)的每一點(diǎn)有一個(gè)自己的旋度,而且是一個(gè)向量;這是因?yàn)樾D(zhuǎn)的方向需要標(biāo)明出來(lái)),寫(xiě)作 ? × F(這個(gè)寫(xiě)法也很直白,因?yàn)椴娉司褪窍蛄?。如果一個(gè)點(diǎn)的旋度不為 0,那么在這一點(diǎn)上 F 有漩渦的趨勢(shì),而這個(gè)旋度的方向表明了旋轉(zhuǎn)的方向。

舉些例子,以下是兩個(gè)向量場(chǎng)的例子。其中第一個(gè)向量場(chǎng)往外發(fā)散,但完全沒(méi)有旋轉(zhuǎn)扭曲的趨勢(shì);第二個(gè)向量場(chǎng)形成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的漩渦,但沒(méi)有任何箭頭在往外或往里指,沒(méi)有發(fā)散或收斂的趨勢(shì)。(顯然這兩個(gè)圖都是用字符直接畫(huà)的;大家湊合著看,有空我再搞張好看點(diǎn)的圖)

散度不為 0、但旋度為 0 的向量場(chǎng):
↖ ↑ ↗
← · →
↙ ↓ ↘

旋度不為 0、但散度為 0 的向量場(chǎng):

↗ → ↘
↑ · ↓
↖ ← ↙
因此,如你所見(jiàn),散度和旋度描述的都是非常直觀的幾何性質(zhì)。只要知道一個(gè)向量場(chǎng)的散度和旋度,我們就可以唯一確定這個(gè)向量場(chǎng)本身(這是亥姆霍茲定理,我要是有興致可以以后簡(jiǎn)單談?wù)?。

麥克斯韋方程組的微分形式,就是要描述電磁場(chǎng)的散度和旋度。我前邊說(shuō)到,微分形式和積分形式是完全等價(jià)的,我很也可以很輕松地從一個(gè)形式推導(dǎo)出另一個(gè)形式,用的是高斯定理(不要和高斯定律混淆、又叫散度定理)和斯托克斯定理。

高斯定理 Gauss's Theorem:一個(gè)向量場(chǎng) F 在閉合曲面 ?V 上的通量,等于該曲面包裹住的體積 V 里的 F 全部的散度(F 的散度的體積積分)。這是可以想象的,畢竟通量就是在計(jì)算有多少場(chǎng)從這個(gè)閉合曲面里發(fā)散出去了,也就是總共的散度(散度的積分)。

斯托克斯定理 Stokes' Theorem:一個(gè)向量場(chǎng) F 在閉合曲線 ?S 上的環(huán)量,等于該曲線環(huán)住的曲面 S 上的 F 全部的旋度(F 的旋度的曲面積分)。這也是可以想象的,畢竟環(huán)量就是在計(jì)算有多少場(chǎng)和這個(gè)環(huán)方向一樣(有多少場(chǎng)在沿著這個(gè)環(huán)旋轉(zhuǎn)),也就是總共的旋度(旋度的積分)。

總結(jié)如下表:

8. 麥克斯韋方程組的微分形式

了解了散度和旋度的概念之后,我們便可以讀懂麥克斯韋方程組的微分形式了。

(2)、法拉第定律:電場(chǎng) E 的旋度,等于在該點(diǎn)的磁場(chǎng) B 的變化率(乘上系數(shù) -1);

(3)、高斯磁定律:磁場(chǎng) B 的散度,等于 0;

(4)、安培麥克斯韋定律:磁場(chǎng) B 的旋度,等于在該點(diǎn)的電流密度 J(乘上系數(shù) μ0),加上在該點(diǎn)的電場(chǎng) E 的變化率(乘上系數(shù) μ0ε0)。

我們可以看出,電荷和電流對(duì)電場(chǎng)和磁場(chǎng)干的事情是不一樣的:電荷的作用是給電場(chǎng)貢獻(xiàn)一些散度,而電流的作用是給磁場(chǎng)貢獻(xiàn)一些旋度。然而變化的電磁場(chǎng)對(duì)對(duì)方干的事情是一樣的,都是給對(duì)方貢獻(xiàn)一些旋度。

想看一些具體例子的同學(xué)要失望了。微分形式的例子比較難舉,因?yàn)槲⒎中问街饕亲層?jì)算更加簡(jiǎn)便,在數(shù)學(xué)上比較有優(yōu)勢(shì),而應(yīng)用到具體的現(xiàn)象上則不那么顯而易見(jiàn)。不過(guò),至少靜電磁場(chǎng)的例子還是可以舉的。比如,我們知道電場(chǎng)線總是從正電荷出發(fā)、然后進(jìn)入負(fù)電荷,這正是在說(shuō)電場(chǎng)的散度在正電荷處為正,在負(fù)電荷處為負(fù)。再例如我們知道磁場(chǎng)線總是繞著電流,而不會(huì)進(jìn)入或發(fā)源于電流,這也就是在說(shuō)磁場(chǎng)有旋度而一定沒(méi)有散度。

9. 電磁波
我剛剛提到,微分形式的主要好處是數(shù)學(xué)上處理起來(lái)很簡(jiǎn)便,我現(xiàn)在就給一個(gè)例子,也就是著名的光速。想象我們?cè)谡婵罩?周圍什么都沒(méi)有。這個(gè)時(shí)候,顯然電荷密度和電流密度均為 0,所以麥克斯韋方程組的微分形式變成了:

想要具體解出這個(gè)方程的解,還是需要玩兒一會(huì)兒微積分的,但是我們注意到兩個(gè)式子分別有系數(shù) -1 和 μ0ε0。如果你了解波動(dòng)方程的話,從這兩個(gè)系數(shù)就可以算出這個(gè)波傳播的速度,為

然而!μ0 和 ε0 這兩個(gè)常數(shù)是真空的性質(zhì)(分別叫做

可能有同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn),我們的討論中似乎忽略了很重要的一部分就是方向性。畢竟初高中學(xué)電磁的時(shí)候,出現(xiàn)了各種左手、右手定則(插一句,請(qǐng)一定一定忘掉左手定則,使用左手簡(jiǎn)直反人類,在正統(tǒng)的向量微積分和電磁學(xué)里只有右手定則)。在之前對(duì)于麥克斯韋方程組的詮釋中,我們似乎很少提及方向。麥克斯韋方程組描述了方向性嗎?

答案是肯定的。方向或者說(shuō)手性(為什么是“右手”定則而不是“左手”定則?)來(lái)自于叉乘的定義和面積的向量微分元素的定義。我們定義叉乘 u×v 是一個(gè)向量,指的方向是垂直于 u 和 v 的方向;但顯然有兩個(gè)不同的方向均滿足這個(gè)條件,而我們選擇了其中特定的一個(gè),把選擇的這個(gè)規(guī)則叫做“右手定則”。類似地,一個(gè)曲面 S 也有兩個(gè)方向(即其微分元素 da 是向量)。注意到曲線積分也是有方向性的(即其微分元素 dl也是向量),因此我們把 S 的 da 和 ?S 的 dl 聯(lián)系起來(lái),這個(gè)聯(lián)系的規(guī)則也叫做“右手定則”。

上面這些情況中,選擇“右手”是非常隨意的;原則上我也可以全部選擇左手,那么我得到的數(shù)學(xué)體系和原來(lái)的是完全等價(jià)的。當(dāng)然,磁場(chǎng) B 會(huì)和原來(lái)的磁場(chǎng)指的方向完全相反,但是沒(méi)有關(guān)系,因?yàn)槲覀冇植荒苤苯涌吹酱艌?chǎng),所有的定律的手性都變了之后,描述的物理是不變的。但是,選擇右手是約定俗成的,也就沒(méi)必要再糾結(jié)為什么了。

11. 梯度、二次導(dǎo)數(shù)
我在之前說(shuō)到保守力場(chǎng)的時(shí)候,偷偷塞進(jìn)來(lái)過(guò)這樣一個(gè)式子:F=-?V。這里F是個(gè)向量場(chǎng),V是個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。我們看到,這個(gè)神奇的倒三角不但可以表示散度(把向量變成標(biāo)量)和旋度(把向量變成向量),還可以這樣把一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)變成一個(gè)向量場(chǎng)!數(shù)學(xué)上這個(gè)倒三角叫Nabla算符,而?V叫做一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)V的梯度。

什么叫做梯度呢?其實(shí)相比于散度和旋度,這應(yīng)該是更加熟悉的概念。梯度gradient就是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)變化的程度。我們可以把一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)想象成一個(gè)山坡,每一點(diǎn)的梯度是一個(gè)向量,指的方向是上坡的方向,大小則是坡的陡峭程度。

總結(jié)一下我們見(jiàn)到的三種向量微分吧:

兩邊同時(shí)取散度:

使用高斯定律:

代入原式,約掉ε0,得:

S1. 附錄:省略掉的各種公式和定義

庫(kù)侖定律:

畢奧-薩伐爾定律:

Nabla算符:

梯度:

散度:

旋度:

高斯定理:

斯托克斯定理:

真空中的電磁波:

附:關(guān)于麥克斯韋電磁方程的動(dòng)畫(huà)視頻講解

著作權(quán)歸作者所有
作者:孫研

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